UBND TỈNH QUẢNG TRỊ
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KÌ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 12
NĂM HỌC 2015 – 2016

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 01 trang)
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề


Câu 1. (6,0 điểm)
1. Từ một hộp chứa 5 viên bi đỏ, 3 viên bi vàng và 4 viên bi xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 4 viên bi. Gọi A là biến cố: trong số 4 viên bi lấy được số bi đỏ lớn hơn số bi vàng. Tính xác suất biến cố A.
2. Giải bất phương trình

Câu 2. (5,0 điểm)
1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và
. Hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm M của AB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60o. Tính theo a thể tích khối S.ABC và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC).
2. Cho khối tứ diện ABCD có thể tích là V. Gọi d1, d2, d3 lần lượt là khoảng cách giữa các cặp cạnh đối diện AB và CD, AC và BD, AD và BC.
Chứng minh rằng:
.
Câu 3. (4,0 điểm)
1. Giải phương trình

2. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn
. Chứng minh rằng



Câu 4. (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Gọi trung điểm của AB và AD lần lượt là M(-5;3) và N(2;4). Kẻ ME vuông góc với CD tại E. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác MNE, biết rằng đường thẳng BC có phương trình
.
Câu 5. (3,0 điểm)
1. Giải hệ phương trình

2. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức


--------------------------Hết--------------------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh………………………………………………Số báo danh………………………

UBND TỈNH QUẢNG TRỊ
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KÌ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 12
NĂM HỌC 2015 – 2016


ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM
Môn thi: TOÁN
(Đáp án – thang điểm gồm 03 trang)


Câu
Đáp án (trang 01)
Điểm


C1
Ý1
3,0đ
Số bi trong hộp 5+3+4=12
0,25


Số phần tử không gian mẫu

0,25


Đếm số phần tử biến cố A có 2 trường hợp sau
TH1: 4 viên bi lấy ra không có viên bi vàng và có ít nhất 1viên bi đỏ
0,25


Số kết quả là

0,50


TH2: 4 viên bi lấy ra có đúng 1 viên bi vàng và có ít nhất 2viên bi đỏ
0,25


Số kết quả là

0,50


Số phần tử của biến cố A là 125+150=275
0,50


Vậy xác suất biến cố A là

0,50

C1
Ý2
3,0đ
Điều kiện xác định

0,50


BPT

1,0


Cùng với điều kiện, BPT đã cho tương đương với

. Vậy tập nghiệm

1,50


C2
Ý1
4,0đ



0,50



Tam giác SMC vuông tại M nên:



0,25
0,25



Đặt AC = x, vì tam giác AMC vuông tại A nên
,


0,50




Thể tích khối S.ABC:

0,50


Ta có
nên tam giác SAC vuông tại A, do đó


0,50
0,50


Suy ra

1,0

C2
Ý2
1đ

Ngoại tiếp tứ diện bởi hình hộp xiên
AEDF.MBNC. Kí hiệu V’ là thể tích khối hộp đó. Khi đó

0,25



Mặt khác

0,25




. Suy ra dpcm.
0,50


C3
Ý 1
2,0đ
Điều kiện xác định:

0,25


Đặt

0,25


Phương trình trở thành

0,5